Was Sie schon immer über Clebsch-Gordan-Koeffizienten wissen wollten

aber bisher nicht zu fragen wagten.

Die meisten Menschen sind brennend interessiert an:
1) Wirken Aphrodisiaka?
2) Was ist Sodomie?
3) usw.usw.

Alle diese Probleme haben die Rundwürmer genauso, wenn sie sich an irgendwelchen Plattwürmern vergreifen. Auch wenn die Menschen aus Rundwürmern entstanden sind, stellt sich die Frage, warum Mutter Natur nicht bei den Rundwürmern geblieben ist.

Zum Kontrast werde ich im Sommersemester 2012 eine Vorlesung über Gruppentheorie (kein Gruppensex!) verüben.

Donnerstags 10:15 bis 11:45 im kleinen Hörsaal Renthof 5
(Erste Vorlesung am 12.4.2012)

Ursprung der Gruppentheorie war die Lösung nichtlinearer algebraischer Gleichungen – und nichts weiter. Die Lösung quadratischer Gleichungen war schon im Altertum bekannt. Die Lösung kubischer Gleichungen wurde zweitausend Jahre später entdeckt, etwa 1535, und die der biquadratischen ein paar Jahre später. Danach war erst einmal wieder Sense. Alle Bemühungen, die Lösung der Gleichung fünften Grades zu finden, scheiterten. Die Wut der Mathematiker mit dem Problem nicht fertig zu werden steigerte sich im 19.Jahrhundert zu einer intellektuellen Raserei, bei der neue Formen des Denkens entdeckt wurden. Es gibt bis heute kaum Menschen – auch unter den Mathematikern -, die diese Methoden verstehen.

Konkret geht es um

1) Die Gruppentheorie von Galois.
Evariste Galois – ein Jüngelchen, aber wahrscheinlich das größte Mathematik-Genie, das bisher lebte – warf einem Professor den Schwamm ins Gesicht, weil er dessen Prüfungsfragen zu dümmlich fand. Kurz darauf wurde Galois wegen politischer Betätigung in den Knast Sainte Pélagie gesperrt und wiederum nur Monate später bei einem Duell abgeknallt. Galois hatte keine Zeit viel zu erklären.

2) Die Invariantentheorie von Clebsch und Gordan.
Sie erscheint so formal-verstaubt, dass sie auch niemand versteht.

3) Die elliptischen Funktionen.
Sehr nützlich, aber schon wieder vergessen.

Alle drei Quellen haben Algorithmen erbracht, von denen sich die StudentInnen, die nur die üblichen Analysis-Kurse kennen, nichts träumen lassen. Nichtsdestoweniger sind die Anwendungen umfassend.

Aus 1) ergeben sich

a) Die allgemeine Lösungstheorie nichtlinearer algebraischer Gleichungen. In der Physik treten solche Gleichungen bei Schwingungsproblemen aller Art auf – angefangen von Spektren der Elementarteilchen über Molekülschwingungen, elektromagnetische Schwingkreise, mechanische Schwinger bis zu astrophysikalischen Problemen.

b) Die bis heute einzige systematische Methode, um an Lösungen nichtlinearer Gleichungen heranzukommen. Z.B. hat Sophus Lie Galois’ Ideen auf Differenzialgleichungen übertragen.

c) Die Darstellungen von Gruppen durch Matrizen. Gruppenalgebra, Linksideale und Charaktere.

Aus 2) ergeben sich

a) Der Spin. Überhaupt alles, was mit Drehung zu tun hat.

b) Die relativistische Kinematik.

c) Die Klassifikation der atomaren und nuklearen Spektren, die Auswahlregeln.

d) Quarks, SU(3) usw.

Aus 3) ergeben sich

a) Die Lösung der Gleichung 5.Grades. Die oft gehörte Behauptung, die Gleichung 5.Grades sei analytisch unlösbar, ist Quatsch. Sie ist nicht mit Wurzeln lösbar, aber mit elliptischen Modulfunktionen.

b) Die Eigenschaften der elliptischen Funktionen. Diese sind äußerst nützlich, wenn man mehr ausrechnen will als den harmonischen Oszillator oder Keplers Planetensystem. Viele nichtlineare Schwingungs-, Kreisel- und Astronomie-Probleme sind mit elliptischen Funktionen geschlossen lösbar.

c) Die Modul-Gruppen.


Ich habe Gruppentheorie-Vorlesungen schon zweimal durchgeführt. Von der ersten 2002 existiert ein Skript, welches erstaunlich oft runtergeladen wurde. Der Blick hat sich verändert. Ich verstehe nun auch die Ideen von Clebsch und Gordan sowie die Modul-Gruppen gut genug, um sie anwendbar vorzutragen. Die Theorie von Lie sowie die Klassifikation der Kristalle wird diesmal aus Mangel an Zeit nicht vorkommen.

Die Methode der Vorlesung wird indes die gleiche sein wie die der von 2002: Ich rechne vorrangig einfache, aber nichttriviale Beispiele vor.

Ulrich Brosa

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3 Antworten to “Was Sie schon immer über Clebsch-Gordan-Koeffizienten wissen wollten”

  1. R. Meier Says:

    Mir sagt das alles etwas, obwohl ich als Elektro- und Informationstechnik Bachelor nicht alles davon brauche. Frau dr. Annabella Rauscher-Scheibe hat es halt drauf und trägt es gleichfalls vor.

  2. Ulrich Brosa Says:

    Ein Mathematiker, der jetzt in Paris lehrt, schrieb mich wegen meiner alten Vorlesung http://sci.althand.com/gruppen.html an. Die Diskussion habe ich so zusammengefasst:

    Wenn Sie die Bücher lesen, die Sie sich bestellt haben, werden Sie feststellen, dass es bei den Anwendungen endlicher Gruppen in Physik, Chemie usw. letztlich immer nur um Eines geht: Lösung algebraischer Gleichungen. Sogar ein Großteil der Anwendungen unendlicher Gruppen zielt auf die Lösung algebraischer Gleichungen. Warum reicht dafür die Galois-Theorie, die Sie in einer Mathe-Vorlesung vermeintlich gelernt haben, nicht? Oder ist die Galois-Theorie doch die Grundlage aller Anwendungen? Ich kenne 6 anscheinend grundsätzlich unterschiedliche Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen:

    1) durch Körpererweiterung nach Evariste Galois
    2) direkt mit der Galois-Resolvente nach Felix Klein
    3) durch Tschirnhaus-Transformationen
    4) mit den Clebsch-Gordan-Koeffizienten
    5) durch elliptische Funktionen
    6) durch Reduktion von Eigenwert-Problemen

    Den Zusammenhang zwischen 1) und 2) kann man mit etwas Mühe sehen. 3), 4), 5) und 6) aber scheinen völlig unabhängig zu sein. 2), 4) und 5) haben auch die Mathematiker fast ganz vergessen, 6) haben sie nie verstanden. Aber nur 6) liefert noch Ergebnisse, die für Praktiker interessant sein können. Nur mit 2) und 5) kann man die Gleichung 5.Grades lösen, doch die Lösungen sehen total verschieden aus.

  3. Ulrich Brosa Says:

    Ich habe eine wunderbar einfache Theorie der Clebsch-Gordan-Koeffizienten gefunden. Man braucht nicht mehr als 1) Schulmathematik und muss 2) mit Permutationen rechnen können wie auf http://sci.althand.com/gruppen2.pdf vorgeführt und bekommt alles, was man für Anwendungen braucht. Wie meistens bei tieferen Einsichten erschließen sich Anwendungen, die nicht in den Büchern beschrieben werden.

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